complex fraction

“87%”とは何か。

昨日の緊急記者会見で、菅首相は「今後30年以内にM8以上の東海地震が発生する確率は87%」という発言をした。“87%”という数値は、地震予測に於いて用いられる確率としては随分と細かい。この具体的な数字を政府がどのような算出したのかは不明である。そこで一般人の立場から“87%”という数値が持つ意味を考えてみたい。

実は“87%”は、多数回試行の事象発現確率としては頻繁に見掛ける数値である。一般的に「1/nで発現する事象がn回発現し得る機会を持った時、その事象が発現する実際の確率」は、63〜64%程度に収束する。

具体的な例で考えてみよう。1/100で当たるクジを100回引く事が出来るとする。その際に一度もアタリを引けない確率（100回全てでハズレを引く確率）は、(1-1/100)^100で求める事が出来る。a^bとは「aのb乗」の事である。従って一度でもアタリが引ける確率は、1-(1-1/100)^100=0.6339=63.39%となる。

これが1/20で当たるクジを20回引く場合で考えると、当選確率は1-(1-1/20)^20=0.6415=64.15%となる。nが無限大に近付くと63%付近になるが、2桁程度の現実的な試行回数では基本的に64%前後となる。いずれにしても大きな差異は存在しない。1/nで当たるクジをn回引けば、当選確率は64%程度である。

そこで今度は「1/nで当たるクジを2n回引く」事を考えてみる。最初の仮定の2倍の回数のクジを引く訳だ。これは前半のn回でアタリを引けない確率が100-64=36%、後半のn回でアタリを引けない確率も36%だから、「2n回全てでハズレを引いてしまう確率」は0.36^2=0.1296=12.96%である。従って1/nで当たるクジを2n回引けば、当選確率は100-12.96=87.04%となる。ここで“87%”という数値が出て来た。

クジ引きを例に取って考えてみたが、もう少し一般的な言い方をすれば「1/nで発現する事象が2n回の発現機会を得た際に実際に発現する確率」は87%という事になる。

これを今回の記者会見の菅首相の発言に当て嵌めてみると、例えば「1年間に東海地震が発生する確率が1/15で一定」と仮定するならば、今後30年間に東海地震が発生する確率は87%となる。実際に計算すれば、1-(1-14/15)^30=0.8738=87.38%である。これは「今後30年以内にM8以上の東海地震が発生する確率は87%」という菅首相の発言内容と一致する。“87%”というのは、こういう意味を持っている可能性が在る。

但し注意しなければならないのは、「地震が発生する確率が毎年一定値である」という仮定は現実に即しているとは言い難く、菅首相がここまで極端に簡略化した予測モデルを採用した訳ではないと考えられる（と言うか、そう期待したい）。あくまでも政府が想定している大体の危機確率を一般人の立場から推測すると、これくらいの値になるという事だ。

以上より今日の結論。

どのようにして政府が「今後30年以内にM8以上の東海地震が発生する確率は87%」という確率計算を行ったのかは、一般人の立場からは不明である。但し「1年間に東海地震が発生する確率が1/15で一定」という“非現実的”な仮定を採用すれば、“87%”という数値には根拠が存在する。

4+2+1=8-1である。

先日クイズ番組を見ていたら「8人でトーナメントを行うと全部で何試合になるか？」という問題が出題されていた。

先ずは素直に解いてみよう。一回戦（8人トーナメントなら準々決勝）は8÷2=4で4試合、準決勝は4÷2=2で2試合、決勝は2÷2=1で1試合が行われる訳だから、全部で4+2+1=7で7試合。8人でトーナメントを行うと7試合が行われる事になる訳だ。勿論、これは正解である。

ここでトーナメントの仕組みについて考えてみると、以下のような性質が有る事に気付く。

• 優勝者は1人だけで、その人は1回も負けない。
• 優勝者以外は全員が敗者である。
• 敗者は必ず負けているものの、2回以上負ける人は存在しない。

“神”というのは面白い概念だ。存在する事も存在しない事も証明されている。

人類史上初めて神の存在を証明したのは大司教だったアンセルムスである。彼は聖書を盲目的に信じる事を否定し、理解を深める為に信仰が有ると考えた。従って信仰は純粋理性を元に成立するとして、神の存在も理性的に――つまり演繹的に証明しようとした訳だ。彼は１０７８年の『プロスロギオン』で、以下のような神の存在証明を試みている。

【定義】神は自身よりも大なるものが可能でない対象である。
【仮定１】神は理解に於いて存在する。
【仮定２】神は事実に於いて存在する可能性が有る。
【仮定３】もし任意の対象が理解に於いてのみ存在し、事実に於いて存在する可能性が有れば、その対象は自身よりも大なる可能性が有る。
【背理１】神は理解に於いてのみ存在すると仮定する。
【背理２】神は自身より大なる存在になる可能性が有る。
【背理３】神は自身よりも大なるものが可能な対象である。
【背理４】自身よりも大なるものが可能でない対象が、自身よりも大なるものが可能な対象となる。
【背理５】神は理解に於いてのみ存在する事は無い。
【結論】神は事実に於いて存在する。

これ以後、様々な「神の存在証明」が行われて来た。１３世紀にはトマス・アクィナスがアンセルムスの証明を批判し、帰納的な手法で神が存在すると証明した。以下のような方法である。

【仮定１】全ての結果には原因が有る。
【仮定２】因果関係は無限に連鎖しない。
【結論１】因果関係の最初に第一原因が存在する。
【結論２】その第一原因が神である。

しかしこの帰納的手法も、後にヒュームに拠って正当性が無いと批判されている。これ以後もデカルトの「神の存在証明」がカントに強く批判されたりと、まるでイタチゴッコの様相を呈していた。

この「神の存在証明」合戦には、２０世紀の天才ゲーデルも参加していた。彼は晩年の１９７０年２月１０日に『神の存在論的証明』という論文を書き残している。証明内容は難解なので省くが、この「神の存在証明」は１９８０年代後半になってから批評が始まり、未だに専門家の間でも評価が定まっていないらしい。

ゲーデルは神の存在を強く信じていた。それが『神の存在論的証明』を書くに到らせたのだろう。しかし皮肉な事に、ゲーデルの功績に拠って「神の非存在証明」も為される事になったのである。

ゲーデルと言えば『不完全性定理』が有名であるが、１９９１年にパトリック・グリムが不完全性定理を用いて「神の非存在証明」を行った。以下のような手法である。

【定義】全ての真理を知る無矛盾な存在を神と呼ぶ。
【証明１】神は全ての真理を知っているので、自然数論も知っており無矛盾である。
【証明２】不完全性定理より、特定の多項方程式に関して無矛盾で真理を決定できない物が存在する。
【証明３】全ての真理を知る事は不可能である。
【グリムの定理】神は存在しない。

参考図書：『ゲーデルの哲学 不完全性定理と神の存在論』（高橋昌一郎／講談社現代新書）

問題解決に重要なのはアナロジー（類推）である。

知っている人も多いと思うが、以下のクイズを見て欲しい。

【外科医のパズル】
外科医が悪性腫瘍を治療しようとしている。しかし外科手術は不可能で、治療には放射線を用いなければならない。ところが腫瘍を破壊する程の強い放射線を当てると、放射線が通過する他の健全な組織も破壊されてしまう。健全な組織を破壊せずに悪性腫瘍のみを破壊するには、どうしたら良いか？

この【外科医のパズル】は初見の人には割と難しく、カリフォルニア大学の心理学者キース・ホリオークの調査に拠れば、このクイズの正解者は大学生で１０％程度だったと言う。しかし次のクイズ（問題のみ）を見せる事で、正解率は７５％まで上昇した。

【将軍のパズル】
将軍が他国を侵略しようとしている。討つべき国王の城の周囲には多くの道が延びているが、全ての道には地雷が仕掛けられている為に少人数しか通り抜けられない。しかし城を落とすには大人数で攻撃しなければならない。どうしたら良いか？

この【将軍のパズル】は比較的簡単で、多くの人が答えられるのではないか。即ち答は、「城に繋がる多くの道それぞれを少人数で通り抜け、城の手前で全員が合流する」というものだ。

【将軍のパズル】を初見で解ける人は多い。すると初見で【外科医のパズル】が解けなかった人も、次には自力で【外科医のパズル】が解けるようになる事が多い。ちなみに答は、「健全な組織に影響を与えない強さの放射線を、身体の様々な角度から悪性腫瘍に向かって当てる」である。

この【外科医のパズル】と【将軍のパズル】とは共通点が多い。言わば類題である。だから片方が解けると、もう一方の答も解る。しかし興味深いのは、「【外科医のパズル】を解けなかった人間が、【将軍のパズル】の問題を見ただけで解答に辿り着ける」という点だろう。つまり上の２つのクイズは類題とは言っても、その解き方を学んで初めて解けるようになる訳ではないのだ。

これは「初見で解けてしまうような易しい問題でも、学ぶべき点は存在する」という事を示唆している。特に数学を学ぶ際には、アナロジーが非常に重要だ。

以上より今日の結論。

問題解決に重要なのはアナロジーである。初見で解けてしまうような易しい問題でも、学ぶべき点は存在する。

すっかり受験シーズンである。算数や数学で「計算ミスが多くて無駄な失点が多い」と嘆いている受験生はいないだろうか？

計算ミスで悩む受験生は多い。僕の家庭教師経験から推察するに、９割くらいの受験生が試験の度に「計算ミスの所為で実力に見合うだけの点数が取れなかった」と感じているのではないか。

当然だが人間である以上、計算ミスから完全に逃れる事は出来ない。しかしこれだけ多くの人間が、実力的な落ち度以上に計算ミスをしてしまうハズが無い。となれば「計算ミスの所為で実力に見合うだけの点数が取れなかった」と感じている受験生の多くは、そもそもそんなに高い実力を持っていなかったのだと言わざるを得ない。

多くの受験生が行う計算練習というのは、精々が「毎日１０〜２０程度の計算問題を時間を計って行う」というレベルだろう。しかしこの方法で計算ミスを目に見えて減らすには、最低でも１年以上の歳月がかかると思う。３年くらいかかってもおかしくない。何故か。

１日１５問の計算問題を１年間解き続けたとしよう。年間で約５５００問である。これだけやれば誰でも計算能力が向上するように思われるかも知れない。しかし僕には疑問である。

“計算問題”と一口に言うが、その内容は驚くほど多岐に渡る。小学校では加減乗除という計算の基礎を学ぶが、例えばこの＋−×÷という４つの演算それぞれに対してだけでも、整数や小数や分数などの場合が有る訳である。それらが複合する事も有る。中学高校になれば、根号や指数対数や三角比や微分積分なども絡んで来る。実は計算問題には、物凄く沢山のバリエーションが存在するのだ。

そのバリエーションの数が１００種類程度だとしたら、年間５５００問というのは１つの計算パターンに対して５５回しか計算練習をしていない事になる。たった５５問である。１日で出来てしまう量だ。これくらいで計算ミスが目に見えて減る訳が無い。

だから正直な話をすれば、数ヶ月で計算ミスを無くしたいと思ったら、１日１００問をやり続けるくらいでないと厳しいのだ。「１日１００問」と言われると、何だかとてつもない事を言われている気がするかも知れないが、慣れて来れば案外早く終わるようになるものである。そして計算を早く出来るようになる事が、後の思考力養成の為の問題を解く上でも有利となる。（以下の関連リンクを参照。）

関連リンク：「数学の実力差が顕れ易い理由」

以上より今日のイイタイコト。

本当に計算ミスを減らしたかったら、１日１００問（以上）やる事。