今回は実生活に潜む確率に関する陥穽についてです。問題です。
的中率９０％の検査で癌だと診断された人は、「９０％の確率で癌だ」と言えるか？
答えは“ＮＯ”です。
なぜ答えが“ＮＯ”なのか？ それは、癌患者は全人口の半分よりもずっと少ないからです。シミュレートしてみましょう。
ある村の人口は１１００人です。この中に癌患者は１００人いるものとします。（これはあくまでも『神様の視点』です。人間には、ある人物が癌かどうかを絶対的に判定する術がありません。的中率９０％の検査を何回やった処で、確率が１００％になることはないわけですから。そうすると厳密には『癌患者は全人口の半分よりもずっと少ない』という前提も意味を為さないのですが、ここでは純粋数学をやるわけではないので、その反論は敢えて無視します。）つまり１０００人は健常者（正確には非癌患者）というわけです。
この村の人たち全員に的中率９０％の癌検査を行ったとします。的中率は９０％なので、逆に言えば、１０％は外れる、ということです。よって１０００人の健常者には、９００人には「健康」と診断され、１００人には「癌」と診断されることになります。また、１００人の癌患者に対しては、９０人に「癌」と、１０人に「健康」と診断されるわけです。すると、この村には「癌患者」と診断される人が全部で１９０人いることになります。ところがすでに計算したように、この内、実際に癌である人は９０人しかいません。したがって、的中率９０％の検査で癌と診断された人が、本当に癌である確率は１９０分の９０――約４６％であるということになるわけです。
今のは癌検査に関する考察でしたが、実はもっと深刻な問題があります。それは「エイズ」です。
エイズ検査は慎重を期すため、仮に９９．９％の的中率を持つとします。日本では何人のＨＩＶ感染者がいるか、よく知らないのですが、ここでは１００００人としておきます。（もちろん、神の視点からの話。）で、国内の非感染者数を１００００００００人とすると、先程と同じ考えから、この内、１０００００人はＨＩＶ感染と間違われることになり、９９９０人がＨＩＶ感染と診断され、かつ、実際にそうである事になります。すると検査では１０９９９０人がＨＩＶ感染とされますが、本当にそうである確率はわずか９％ということになります。
したがって、大病の検査にひっかかった場合、すぐに悲観的にならずに、再検査をすることをお勧めします。
それにしても、では的中率の「９０％」とか「９９．９％」というのはなんだったんでしょうか？ これはつまり、的中させる側の確率であって、被対象者にとっての確率ではないということです。
同じような話で有名なのが、「クラスの中に同じ誕生日の人がいるかどうか？」です。例えば５０人の集団の中で同じ誕生日の人がいる確率はなんと、９９％を超えます。でも僕たちはどうしても直感的に「３６５分の５０」と考えてしまいがちです。ではこの「３６５分の５０」とは何か？ これは推測に過ぎませんが、おそらく自分と同じ誕生日の人がいる確率が３６５分の４９なので、それと勘違いしているためではないでしょうか？
【追記】（２００５年１月３０日）
“的中率”という言葉の使い方を初めとして、このテキスト中に幾つかの論理的欠陥が指摘されました。詳しくはリンク先を読んで下さい。
参考リンク：「おいおい、そりゃ違うぞ」（『医学都市伝説』）